گاز ایده‌آل و کمی بازی با روابط ترمودینامیک

بیایید جهت سرگرمی گاز ایده‌آل را با پتانسیل‌ شیمیایی‌اش تعریف کنیم:ء

\mu = \mu^0 +RT~ln~p~~~~~(1)

خب حالا جهت تفریح بیشتر(!)‌ مشتق پتانسیل شیمیایی را بر حسب دما و فشار محاسبه می‌کنیم، ببینیم چیزی دستمان را می‌گیرد یا نه

(\frac{\partial \mu}{\partial p})_T=RT\frac{d~ln~p}{dp}=\frac{RT}{p}~~~~~(2)

(\frac{\partial \mu}{\partial T})_p =\frac{d \mu^0}{dT}+R*ln~p~~~~~(3)

از تعریف انرژی آزاد گیبس داریم

(\frac{\partial \mu}{\partial p})_T=V

$latex(\frac{\partial \mu}{\partial T})_p = -s $

کافی است روابط دو و سه را با رابطه‌های متناظر مساوی قرار دهیم تا به رابطه‌ای هیجان‌انگیز برسیم

v=\frac{RT}{P}\Rightarrow pv=RT

-s = \frac{d \mu^0}{dT}+R*ln p

تا به این‌جای کار معادله‌ی حالت گاز ایده‌آل را داریم… اما آیا به یکی از مهمترین خواص گاز ایده‌آل می‌رسیم؟ (بدیهی است که باید برسیم!) :)ء

H= \mu+Ts=\mu^0+RT ln p+ Ts

اگر انتروپی را هم جایگزین کنیم آن‌گاه انتالپی برابر با رابطه‌ی زیر می‌شود که با کمی دقت به وضوح معلوم می‌شود که فقط تابع دماست (مطابق آن‌چه برای گاز ایده‌آل متصور هستیم)ء

\mu^0-T\frac{d\mu^0}{dT}=-T^2\frac{d\mu^0/T}{dT}

می‌خواهم این پست را به شیوه‌ی کتاب‌های خسته‌کننده‌ی درسی به پایان برسانم! به عنوان تمرین در کمتر از یک خط نشان دهید که انرژی درونی گاز ایده‌آل هم فقط تابع دماست

اما این مدل نزدیک شدن به موضوع گاز ایده‌آل برایم جالب است چون می‌شود به سادگی روابط مشابهی برای مخلوط‌ گازها و نیز محلول‌های ایده‌ال نوشت و عملا این مدل را به این حالات هم بسط داد

شاد زیید

 

در نیویورک بیشتر بی نظمی ایجاد می‌کنم یا در آریزونا؟

به گمان من انتروپی یکی از پیچیده‌ترین مفاهیم موجود در دانش بشری است. مفهومی برآمده از ترمودینامیک. مفهومی که به طور خاص از دنیای پدیده‌شناسی ترمودینامیک ظهور کرد و پس از مدتی معنایش در حوزه‌ی ترمودینامیک اماری گویاتر شد و راهش را میان سایر علوم (مانند نظریه‌ی اطلاعات باز کرد) اما به عقیده‌ی عده‌ای انتروپی همچنان در زمره‌ی غیرقابل‌درک‌ترین واژگان است. عده‌ای آن را معادل معیاری از بی‌نظمی سازست (سیستم) می‌گیرند که البته چندان دقیق نیست

انتروپی به زبان ساده خاصیتی ترمودینامیکی است که تعیین می‌کند چه مقدار انرژی برای انجام کار مفید در دسترس است. در ترمودینامیک کلاسیک این خاصیت به صورت پدیده‌شناختی تعریف می‌شود و در . غالب قانون دوم به صورت خاصیتی که هرگز برای یک سیستم بسته کاهش نمی‌یابد تعریف می‌شود. همین داستان است که عده‌ای را متقاعد کرده است که شاید رابطه‌ای بین انتروپی و پیکان زمان وجود دارد و نیز همین قید انتروپی است که اجازه نمی‌دهد که بازده صد در صد داشته باشیم و خلاصه برای خودش موجود گردن کلفتی است

اگر هنوز فرصت انتخاب راه تحقیق برایتان باز است پیشنهاد می‌کنم که دور این واژه را خط بکشید که واژه‌ی چندان خوش‌یمنی برای محقیقن حوزه‌اش نیست! سابقه‌ی خودکشی در دانشمندان این حوزه کم :  نیست! توجه شما را به سنگ قبر مرحوم جنت مکان بولتزمن جلب می‌کنم

.آن حرف اس که مشاهده کردید نمایش انتروپی است

برگردیم سر عنوان این نوشته: اگر انتروپی را معیاری از بی‌نظمی بگیریم به نظر شما من هم اکنون در آریزونا بیشتر بی‌نظمی ایجاد می‌کنم یا اگر در نیویورک بودم؟

پاسخ به این سوال بسیار ساده است. فقط کافی است بدانیم که بنده چقدر گرما تولید می‌کنم! برای این کار مرا داخل یک ظرف آب فرو ببرید و ببینید که پس از این که من و آن ظرف آب به تعادل رسیدیم چقدر دمای آب بالا رفته است. بعد با استفاده از

Q=mC \Delta \theta

حساب کنید که گرمای تولیدی من چقدر بوده. حالا شما تقریبا تمام ابزار پاسخگویی به سوال من را دارید و فقط کافی است که بدانید انتروپی برای یک فرایند برگشت‌پذیر به صورت گرمای حاصل از آن فرآیند بخش بر دما محاسبه می‌شود

ds_{reversible}=\frac{dQ_{reversible}}{T}

خب دمای هوا در نیویورک در این وقت از سال در گرمترین زمان 19 درجه‌ی سانتی‌گراد است تقریبا 57 فارنهایت و در فینکس چیزی حدود 37 درجه سانتی‌گراد یا به عبارتی 99 درجه‌ی فارنهایت. یک نکته‌ی غیر علمی این وسط برای دوستان عرض کنم که در این بخش از فرنگستان هوا وقتی دو رقمی است می‌گویند هوا خنک شده است… خب می‌بینیم که دما هم در مخرج کسر است و گرمایی که من تولید می‌کنم در صورت کسر. در نتیجه بنده در اریزونا انتروپی کمتری به جهان وارد می‌کنم… در ضمن کافی است بدانید که بر اساس قوانین ترمودینامیک این حداقل انتروپی است که من ایجاد می‌کنم چون فرض برگشت پذیری در مورد من (به هر نوع‌اش! حتی به ایران!) در حال حاضر فرض چندان صحیحی نیست

صدای آتش‌بازی می‌آید و وبلاگ‌صاحاب می‌خواهد برود و سریعا خود را به بازی فوتبال (امریکایی) دانشگاه برساند… زیاده جسارت است

پ.ن: این پست را به دوست نیویورکی خودم و از وی بیشتر به مجید. ک تقدیم می‌کنم که عمری را در مطالعه‌ی انتروپی گذراند و اکنون دیگر نامش دکتر مجید است